תוכן עניינים 1.3 אינטגרלים 1.4 זהויות וקטוריות 1.1 פוריה 1.2 מתמטיקה. dx e (x x 0 )2 זהויות וקטוריות פעולות וקטוריות 1.

Transcript

1 . אינטגרלים dx x x 0 σ πσ לגואסיאן x x 0, x σ + x 0 a x sin x a ax+b a lnax+b. a +x a tan x a V x x x x ax x a a ax x sin x x sin x os x x sinax x os ax sin ax a + a x sin xdx x os x+x sin x V difdv V חוק גאוס: FdS C Ldx+Mdy D M x L משפט גרין: y da תוכן עניינים נספח מתמטי פוריה. מתמטיקה אינטגרלים זהויות וקטוריות לוי צ יויטה פעולות וקטוריות.6 נגזרות זהויות טריגונומטריות זהויות היפרבוליות טנזורים.0 פיזיקה יחסות טנזור אלקטרומגנטי פעולה ושטויות זרמים משוואות מקסוול האי הומוגניות.5 טנזור מאמץ פוטנציאלים.7 4 גלים מישוריים פונקציית גרין קרינה. 5 קרינת דיפול הכח של אברהם לורנץ.5 נספח מתמטי.4 זהויות וקטוריות 4πδ δ δ x δ y δ z משפט גאוס: V Ad A ds V משפט סטוקס: A F dl F dˆn A b a f dl f b f a V fdv S f ˆndS V A dv S A ˆnds f g g f dv f g g f ˆndS S A B C A B C C A B C A B B C A A B C B A C C A B. פוריה GkFf π התמרת פוריה dx fx ikx πiax fx ˆfk+πa fx a iak ˆf iax f ˆfk a dn fx dx n ikn ˆf A B C D A C B D A D B C fg f g + g f A B A B + B A + A B + B A a x a π a +k x a k a iαx πδk α δx π fax aˆf x a sinax i π δk+a δω a fa f A + A f A B B A A B fa f A A f A B A B B A + B A + B A B A A A A 0 f 0 fx osk 0x π dx ikx ik 0 x + ik 0 x fx. מתמטיקה x סביב אפס n0 xn n! os x P n n! xn sin x P n n+! xn+, δ [φ [x]] i כאשר a i הן נקודות φ a i δ x a i ההתאפסות. δ x f x dx δ x f x dx

2 .0 טנזורים g jk, j j j g jk k j g jk k, j g jk k.5 לוי צ יויטה ε ij ε ij, ε ij ε in δ n j,εij ε mn δ m i δn j δn i δm j g ij g jk δ k i, g jk ε ijk ε imn δ m j δn k δn j δm k,ε ijkε ijk 6,ε jmn ε imn δ i j משוואות מקסוול, לא קוואריאנטי A B i ε ijk A i B k Maxwlll Equations E 4πρ M B 0 M E + B t 0 M E t + B 4π j M4 פיזיקה. B A, E φ A t F i ε ijk j F k.6 פעולות וקטוריות כדוריות φ כאשר x sin θ os φ, y sin θ sin φ, z os θ היא במישור x y ו θ הזווית מ z. f ˆ + f ˆθ θ + f ˆφ sin θ φ גרדיאנט: f + f sin θ sin θ θ θ + sin f לפלסיאן: θ φ יעקוביאן: dv sin θ d dθ dφ. g. יחסות במרחב מינקווסקי, ρ ρ גליליות תחת סיבוב, נשמרים הטנזור המטרי וסקאלרים או: סקאלרים, ו ε. ijkl טנזורים x ρ os φ, y ρ sin φ, z z f ρ ˆρ + f ˆφ ρ φ + f גרדיאנט: z ẑ ρ f ρ + f ρ φ + f z לפלסיאן: יעקוביאן: dv ρ dρ dφ dz ארבע וקטורים: z,x µ t, x, y, z,x µ t, x, y, j µ ρ, J,A µ φ, A,a µ,u µ dxµ ds, spa-lik ארבע תאוצה היא תמיד לכן u µ a µ 0,u µ u µ p µ mu µ E, p, ds, ds dt קבוע בכל מערכות היחוס..dt slf dt הזמן העצמי הוא הקצר ביותר. האנרגיה: E p + m 4 ˆ +ˆθ θ + ˆφ sin θ f + sin θ f f ˆ+.7 נגזרות בקוארדינות כדוריות φ θsin θ f θ + sin θ f f φ ˆφ+ f φ בגליליותẑ z z os θy sin φ sin θ,x os φ sin θ.8 זהויות טריגונומטריות osθ±ϕos θ os ϕ sin θ sin ϕ sinθ±ϕsin θ os ϕ±os θ sin ϕ sin θ sin θ os θ os θos θ sin θ os θ sin θ,aoshxlnx+ x x+ sinhx+ysinh x osh y+osh x sinh y sin sin os os Σ os os os +os Σ P sin + sin sin os sin os sin Σ+sin sin P os θ θ os + os os os os +os θ θ.9 זהויות היפרבוליות עבור פעולה פיזיקאלית, מתארכות הזמן:, l slf האורך העצמי הוא הארוך l lab התקצרות האורך: ביותר. Λ µ ν Λµ ν סיבוב סביב ציר os θ sin θ :z sin θ os θ osh φ,λ µ ν sinh φ כאשר sinh φ osh φ בוסט בכיוון :ˆx.apidity היא φ φ atanhβ,sinh φ ± β, osh φ asinhxlnx+ x + atanhx +x ln x oshx+yosh x osh y+sinh x sinh y tanh x+tanh y tanhx+y +tanh x tanh y במערכת העצמית של החלקיק,.s τ osh x sinh x

3 .4 זרמים. δ 4 x והוא סקאלר לורנץ, וגם,dΩ dt dv ρ a aδ a כאשר, j µ ρ dxµ dt עבור חלקיק בתנועה, שמסלולו τ ρ x,,z dτ δ 4 x z τ dt δ4 x z τ. t z 0 τ שמקיים τ, עבור δ x z τ. טנזור אלקטרומגנטי 0 E x E y E z F µν E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 F µν µ A ν ν A µ כיול:, A µ A µ + µ Λ לא משנה את התוצאה הפיזיקאלית. צפיפות הזרם τ j µ x δ 4 x z τ dτ ż µ, j 0 dδ ו x ρ τ לכן, B B ומשנה E משאיר את, F µν δ x z τ ż µ τ εµναβ F αβ j i δ x ρ j J סקאלרים: F µν F µν E B, S.F µν F µν E B int A µ dx µ פעולת האינטראקציה, A µ x j µ x dω משוואות מקסוול ההומוגניות 0 αβ β F, מגלם את זה כי מאחר ו j הוא פונקציית דלתא, הוא ממשקל את dω במיקום החלקיק. הטנזור נקבע על ידי ארבע פוטנציאל. µ A אינוורינטי לכיול מתקיים שימור זרם, 0 µ. µ j שדות סטטיים מקיימין אחד מהנ ל: שדה חשמלי בלבד שדה מגנטי בלבד שדות ניצבים ושווים 4 שדות מקבילים..5 משוואות מקסוול האי הומוגניות טרנספורמציית לורנץ לש שדות: y,z E,β βˆx עבור, E y,z + βb z,y, B y,z B y,z βe z,y, S filds ב gs, הפעולה על שדות, F µν F µν dω 6π בציר xˆ השדות לא משתנים. אין ואריאציה בקצוות, והשדות דועכים רחוק δ F µν אבל, δ F µν F µν F µν δ F µν δ F µν F µν ולכן,,δ µ A ν ν A µ µ δa ν ν δa µ.f µν µ δ ν ν δa µ 4F µν µ δa ν כדי שיהיה לנו איבר שפה שאפשר להפטר ממנו, ν 4 µ F µν δa δs fild, ולכן, כשמסירים אברי שפה, מקבלים 4 µ F µν δa ν. כאשר עושים ואריאציה על השדה 4π dω µ F µν δa ν בפעולת האינטגראקציה, מקבלים δs int δaµ j µ dω,l m m, S f או ds. פעולה ושטויות עבור חלקיק חופשי, כאשר,S Ldt התנע p m והאנרגיה L E p m µ,ds dx µ dx אזי ds dx µ dx µ ו δ ds δdxµdxµ dx µdx µ ds [δ dx µ dx µ + δ dx µ dx µ ] δ ds לכן, u µ dxµ. ds כי ds δ dx µ dx µ u µ µ F µν 4π δ dx µ מהשוואה, מקבלים את משוואות מקסוול, jν d u µ δx µ du µ δx µ S int.6 טנזור מאמץ הפעולה מורכבת מ,S f + S int כאשר A µ dx µ אם,F g [f] g x f X dx כאשר F g פונקציונאל, נגדיר:. δl,l [x] m ẋ t dt עבור פונקציונאל, δfg δfx g x δl δxt, m ẋδẋdt m d אז dt ẋδx dt m ẍδx dt T µν E + B E B 4π E B E i E j B i B j + δ ij T αβ F αµ F βµ + 4 4π gαβ F µν F µν j αf α0 למשל,. α T αβ jµ F β µ Ω T αβ ds α היא משוואת δs f m u µ δ x µ baundy ואריאציה: + m uδ x µ ds. mẍ t δ A µ dx µ δa µ עבור איבר האינטראקציה: + µ dx,a µ δ dx µ ν A µ δx ν dx µ + A µ δ dx µ כאשר E + B. δ A ν x ν Aν עבור הביטוי האחרון, אינטגרציה x ν δx ν A µ δ dx µ d A µ δx µ da µ בחלקים נותנת: µ δx. d A µ δx µ ν A µ dx ν δx µ מחברים את שני הביטויים הראשונים ומשנים את אינדקסי הסכימה, לכבלת µ δ A µ dx, d A µ δx µ + µ A ν δx µ dx ν ν A µ dx ν δx µ האיבר הראשון הוא איבר שפה, ולכן לא תורם, ונקבל, µ d A µ dx µ A ν ν A µ u ν dsδx µ F µν u ν dsδx µ... לכן, δs int A µδx µ baundy Fµν u ν dsδx ν כדי למצוא את משוואות התנועה, נאפס את שתי הפעולות ביחד, טנזור המאמץ מקיים: J E בניסוח אינטגרלי, jα F αβ dω שימור הזרם..ρE+ J B µ jµ F β הוא הכח ליחידת נפח שפועל על מקורות: ונקבל 0 ν, m u µ F µνu זהו כח לורנץ יחסותי.

4 עבור ארבע וקטור גל. µ k x δ ν µk ν k µ,k משטח שהנורמל שלו,ˆn בולע שדה חשמלי,E אז df i T ij n j da הכח ליחידת נפח,f i j T ij אז dv F i f i i T ij dv T ij ds.7 פוטנציאלים פונקציה הרמונית מקבלת את ערכי הקיצון על השפה אם φ הרמנית, אז x φ היא הממצוע על ספרה שמרכזה ב x כאשר k הוא 4 וקטור דמוי אור, ik x הוא פתרון של משוואת הגלים. נרשום: z,k µ ω/, k x, k y, k כאשר.ω k במעבר מערכת לורנץ: + 0 k 0 Ck 0 + Sk, k Sk ω ω k, k ω + או k, Ck, k, k,, ω β ω β זהו אפקט דופלר., לכן, +β ω A µ x הרכבה של גלים: π d 4 k δ k k µ k ik x, כאשר ה δ דואגת לכך שיתקבלו רק k כל קונוס האור. לאחר אינטגרציה על הזמן, x A µ d k π k ±k 0 µ 0, k ±i k t k x כדי לקיים את כיול קולון, 0 k A x 0 k A, לכן,. k E מאחר ו, B x, t i dk A k k ik x מתקבל גם.k B ניתן לרשום ikz ωt E z, t E ˆx + E ŷ לוקחים את החלש הממשי, E, E מרוכבים,.E j E j iφj ρ E + E E E E E E E משוואת פואסון: φ 4φρ, נפתרת על ידי x φ, ρy dy, E j xj אזי במהירות קבועה, B j 0,φ עבור מטען C S.E B, E B אז 0,Λ S C 4 מהטרנספורמציה: Cx y y x ו z,z ו E x x E x x אזי. osh φ sinh φ sin θ.e E ובאופן כללי,. E y x y. x השדה המגנטי:, B i ε ijkf jk ו E. B β עבור שדה מגנטי, אותו דבר רק כמה פעמים: x A Jy dy ו Jy dy B x A x x. x J y dy x y Jy dy עבור דיפול,m מתקיים x B A x dy m y δy 4π m δ x dy m δy δy y m x, m x dy δy m x m x B A m x m x והשדה המגנטי, + m x m x m x x m x 5 m m mx x xm x 5. פונקציית גרין במקרה ובו 0 ρ, אפשר גם לקחת m+m ˆxˆx כיול קולון: 0 A. 0 φ בנוסף. כיון לורנץ: 0 µ µ A, כל שדה וקטורי V ניתן לפירוק יחיד מהצורה + ot V V. h ו 0 V sou 0, V ot כאשר 0 V sou +h את המקורות נגדיר כ 4πJ V ו 4πρ V, ואז נבנה את שני השדות חזרה על פי הנ ל. ניתן תמוד לבחור פוטנציאל וקטורי A וסקאלרי φ כך ש 0 A ו 4πρ φ, כלומר, תמיד נוכל לבחור את הפוטנציאל הסקאלרי כאילו הוא פותר בעיות באלקטרוסטטיקה. מטריצת צפיפות: ρ + n גם σ אפשר לכתוב, 0 +, σ, כאשר 0 n n + in n in n 0 i 0 σ, תחת הבחירה הזו,, σ i 0 0 קיטוב מעגלי i E, E,, נקבל 0, 0, ˆn. קיטוב לינארי בזווית E, E ˆx os θ + ŷ sin θ os φ,θ יהיה 0 θ,.ˆn os θ, sin עבור קיטוב אליפטי מתקיים. עבור אור לא מקוטב, 0 nˆ. E x os θ + E y sin θ j n j T ρσ נירמול? פונקציית גרין למשוואת הגלים, היא הפתרון של > G x,4πδ 4 נרצה לפתור כאשר > 0 t.x 0 נחפש פתרון מהצורה s G > θ t f כאשר. s x µ x µ נרצה גם 0 s f עבור, µ f s µ x ν x ν f s x µ f s נחשב נגזרות:.s < 0 ו s G > θ t f µ µ f s µ x µ f, µ x µ δ µ µ כאשר 4, µ x µ f s + 4 x µ x µ f s ולכן, sf G > 4 מתאפס זהותית, ולכן, s sδ, f s + s 0. נגזור פעמיים, נחלק ב s, ונקבל מאחר ו f מתאפס עבור < 0,s, 0 לכן, s. G > x θ t δ כדי למצוא את המקדם, בתוך קופסא, נחשב Box G > Box δ4 X 4π. מצד שני, לפי משפט גאוס, אינטגרל על המעטפת נותן גם את אותה תוצאה. חישוב אחר יהיה µ Box µg > ds, נטנגרל על כל tt dv 0G > λ tt dv T δ s המרחב עבור > 0 T,t ונקבל s tt dv δ 4π d δ T π d δ T 0 π dρ d ρ d ρ δ T ρ π dρ δ T ρ ρ גלים. מישוריים ללא מקורות, עם כיול קולון+לורנץ, A A µ µ tt A 0 4

5 x z, B x, t at כאשר חלקיק מאיץ לייד הראשית, x z z zt, t t אם המקור מוגבל לתחום,l אפשר לכתוב x z + z x z נפשט:, B x, t at ˆ, לכן, המשוואה המפורשת ל t היא x z + O l,t O l ו, t t x z t + ˆ zt + O l O, ωδt עבור אנטנה כזו, ωl O l אנטנה קטנה: λ. t t אנטנה גדולה: ˆ zt t t + ו + z t z t ωδt O ω l O ωl ו, ż t t t λ l ולכן, ניתן לכוב ש, O l λ P E B E 4π 4π a t / sin φ הספק קרינה: 4π. כלל ההספק דרך ספרה נתון על ידי T t /. π dφ sin φp φ a הכולל הוא I a עבור אוסצילטור הרמוני,, a t a iωt ועבור,ωl/ נקבל.k ω, B a ˆ iωt k ש עבור התפלגות מטענים,, d i x i הם יוצרים שדה חשמלי di אז E d ˆn ˆn, B d ומגנט, ˆn I, כאשר θ הזווית בין d ו n ˆ ו d 4π d ˆn dθ. S 4π וקטור פוינטינג: E B, π לכן λ. לכן, פונקציית גרין המפגרת היא T. G > x θ t δ t δ t θ t נשים לב ש,s x x t t Ct + לכן,.δ x x δt t+ + δt+ t δt δt+. קרינה עבור התפלגות מטען שרירותית,. ρ x ρ y δ x y d 4 y עבור מקור נקודתי זז, שמיקומו t, ẑ נפרמטר את קו העולם שלו כ t w t, z או כזמן עצמי, τ.z t τ, z צפיפות המטען תהיה t,ρ x δ x z לכן, x φ d 4 y δ y z y 0 δ x y x y θ x 0 y 0 dy 0 δ θ x 0 y 0. x 0 y 0, x z, כאשר dτ δ θ x 0 y 0 באינטגרציה שנותרה, τ בוחר נקודה שבה, dx. g x δ f x ו gx 0 φ x u f x 0 נשים לב ש, d ולכן, dτ Ṙ u היא פתרון של t φ 4πδ x z עבור הפוטנציאל הוקטורי, זה אותו דבר אבר כמה פעמים: j µ x δ x z t u µ כאשר, A µ 4π j ν, עבור x j µ A ν u u ולכן δ x z t u µ. A.δ x z t µ j,t t מכאן, d מחושב מה מתי? µ.5. הכח של אברהם לורנץ, P חלקיק נע במעגל פולט קרינה בהספר a F. F כאשר F הוא הכח שמפעילה הקרינה. ȧ x µ F µν + τ x µ τ כדי לגזור את הפוטנציאל, נגזור לפי גוזרים את כל הביטויים ויוצא: להערות:,onn@tx.thnion.a.il גרסאות עדכניות, אם יש, ב 06/0/00 [µ u ν] u [µu ν] u u + [µu ν] u.4 קרינת דיפול החלק הקשה הוא לפתור את התנאי 0, כאשר x. z t פותרים אותה בכל מני מצבים פשוטים. כאשר חלקיק במנוחה רגעית, 0, 0, 0,,u אז, u. B k F ij [i u j] x [i a j] a x k לכן,. B x, t a t / x השדות או, שדה מגנטי הוא E j F 0j החשמליים + u [0 u j] [0 u j] ולכן, E [0 u j] x x a j + x a x j + x j. ˆ ˆ a + ˆ a x,b + O עבור חלקיק שנע לאט,,.E ˆ ˆ a + ˆ + O ו. t t + ˆ z t + O + O l 5